[OSM-S] Größe und Auflösung der OSM-Welt

[Martin Feuersaenger]

Hallo Liste,

wir hatten uns ja gestern beim Stammtisch über die "Auflösung" der 
OSM-Welt unterhalten. Ich habe mir nochmal Gedanken gemacht, und habe 
für mich das Folgende geschlossen. Würde mich freuen, wenn ihr mir sagt, 
ob ihr das auch so seht, oder ob ich da irgendwo einen Denkfehler 
eingebaut habe:

Eine Node wird mit Koordinaten zwischen +90 und -90 Grad Breite sowie 
-180 und 180 Grad Länge versehen.

Akzeptiert werden in JOSM allerdings nur Werte zwischen +85.0511228 und 
-85.0511228 Breite. Sonst wird in JOSM "Cannot add a node outside of the 
world!" vermeldet ;-)

In einer Node werden Koordinaten in Länge und Breite mit einer Auflösung 
von jeweils sieben Nachkommastellen gespeichert. Das entspricht einer 32 
Bit Gleitkommazahl.

So steht es auch in http://wiki.openstreetmap.org/wiki/DE:Node

Die große Halbachse des WGS84-Referenzellipsoids 
(http://de.wikipedia.org/wiki/Referenzellipsoid) misst 6.378.137,000 
Meter, der Äquator hat daher einen Umfang von 40.075.016,6856 Metern und 
von einem Meridian zum nächsten sind es dann 111.319,490793 Meter. Bei 
sieben Nachkommastellen Genauigkeit beträgt dann der Abstand von 
0,0000001 Grad in der Länge am Äquator 0,0111 Meter.

Wäre die Erde doch eine Kugel, dann wäre der Abstand von 0,0000001 Grad 
Länge auf 85 Grad Breite 0,0111 Meter * cos 85 = 0,000967 Meter. Rechnet 
man es genau aus, also bestimmt man den Radius des 85. Breitenkreises 
und unterteilt ihn entsprechend, kommt man auf ... 0,000967 Meter. Aber 
ich weiss jetzt wenigstens, wie man den Abstand vom Mittelpunkt zu einem 
beliebigen Punkt auf einer Ellipse bestimmt ;-)

Ein Meridiangroßkreis ist der Umfang der Ellipse durch die Pole des 
Rotationsellipsoids. Der Umfang einer Ellipse lässt sich leider nicht 
durch elementare Funktionen berechnen, sondern nur über ein - nomen est 
omen - elliptisches Integral. Aber da der Quotient aus großer und 
kleiner Halbachse 0,9966 ergibt, beträgt der Fehler für die Näherung 
U=2(a+b) weit unter einem Prozent. Der Umfang kann daher als 
40.007.834,7138 Meter angenommen werden. Von einem Breitengrad zum 
nächsten sind es daher 111.132,874205 Meter. Kleine Gegenrechnung: 
dieser Wert nochmal durch 60 geteilt entspricht einer Bogenminute und 
ergibt 1.852,21457008 Meter, was ziemlich gut den 1.852 km einer 
Seemeile entspricht, die als eine Bogenminute auf einem Meridian 
definiert ist. Bei siebenstelliger Genauigkeit entspircht der Abstand 
von 0,0000001 Grad in der Breite also 0,01111 Meter.

Etwas gerundet liegt die Genauigkeit der Auflösung von OSM also zwischen 
1 cm und 1 mm in der Länge und 1 cm in der Breite.


Grüße,
   Martin