[OSM-Niederbayern] Doch nochmal Matheraetsel

[Alexander Lehner]

Hallo Gernot!

Nachdem ich (aber nicht wegen dem Raetsel) heute wieder nicht schlafen 
konnte, habe ich eine mir persoenlich etwas gaefaelliger, weil 
ueberschaubarere Herangehensweise ausgedacht.

abcde
  bcde
   cde
    de
     e
  xyz
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aaaaa


Wobei x, y, und z jeweils der Uebertrag ist.

Sich um diese Zahlen zuallererst zu kuemmern verringert den Aufwand
des Ausprobierens erheblich und erlaubt eine systematischere 
Loesungsfindung.

(Das Geteiltzeichen / ist als integer Division zu interpretieren)

z <= 5 * e / 10, fuer e<=9 ergibt sich
z <= 45 / 10
z <= 4

y <= ( 4 * d + z ) / 10, fuer d <=9 und z <=4 ergibt sich
y <= ( 36 + 4 ) / 10
y <= 4

x <= ( 3 * c + y ) / 10, fuer c <=9 und y<=4 ergibt sich
x <= ( 3 * 9 + 4 ) / 10
x <= 3

Anstelle mit abcde rumzuprobieren, ist es sinnvoller, xyz zu permutieren, 
und durch einen linearen Ansatz bleibt eine maximale Anzahl von 
Probiervorgaengen von 4+4+3=11, die aber noch weiter reduziert werden 
koennen, wie sich zeigt.
Ausserdem kann ich jetzt beweisen, dass es nur eine einzige Loesung gibt!


a=5 ist klar.

Dann beginnt man bei der Bestimmung von b und x:

2 * b + x = 5

Fall 1): b=1, x=3
Fall 2): b=2, x=1

Bestimmung von c und y:

Fall 1): x=3
3 * c + y = x * 10 + 5
3 * c + y = 35

Wegen y <= 4 und y<=9 gibt es dafuer keine Loesung.

Fall 2): x=1
3 * c + y = x * 10 + 5, mit x=1:
3 * c + y = 15, mit y<=4
Eine offensichtliche Loesung waere y=0,
das darf aber nicht sein, weil sonst c=5 waere, das widerspricht sich aber
mit a=5.

Jetzt probiert man nicht mit c herum, sondern mit y (<=4):
3 * c + 4 = 15 geht nicht,
3 * c + 3 = 14 gilt fuer c=4 und y=3.
Und es gibt auch keine andere Loesung fuer y und c wegen des Faktors 3 
vorne.

( 4 * d + z ) = 10 * y + 5, mit z<=4
Probieren mit z=4:
4 * d + 4 = 35, geht nicht
4 * d + 3 = 35, ergibt d=8 und z=3.
Und es gibt auch keine andere Loesung fuer d und z wegen des Faktors 4 
vorne.

5 * e = z * 10 + 5
5 * e = 35, folgt e=7

q.e.d.

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Ein schoenes Raetsel, das mich wunderbar von der Arbeit und vom 
Schlafen abhaelt!
Morgen probier ich dann mal, ob es auch noch fuer mehr- oder weniger 
Stellige Probleme funktioniert ;)


A.